Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước $14m$ x $12m$ như hình vẽ bên dưới, trong đó $(P_1),(P_2)$ là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, $(C)$ là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ, biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là 240 nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn $(C)$ có diện tích lớn nhất thì chi phí của phần lát gạch là bao nhiêu triệu đồng?(kết quả làm tròn tới phần chục)

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc tại tâm sân, trục Ox song song với chiều dài 14 m. Khi đó (P1): y = ax² + c đi qua hai đỉnh (±7; 6) của sân nên 6 = 49a + c, tức c = 6 − 49a (a > 0, c < 0, parabol có đỉnh dưới tâm sân); (P2): y = −ax² − c đối xứng với (P1) qua tâm. Đường tròn (C): x² + y² = r². Thay phương trình (P1) vào đường tròn: x² + (ax² + c)² = r², đặt t = x² ≥ 0: (1 + a²)t² + 2act + (c² − r²) = 0. Để đường tròn và parabol có duy nhất một điểm chung (tiếp xúc), phương trình phải có nghiệm kép: Δ' = 0 ⇔ a²c² = (1 + a²)(c² − r²) ⇔ r² = c²/(1 + a²). Vì hình tròn nằm trong sân có chiều rộng 12 m nên r ≤ 6, do đó diện tích lớn nhất khi r = 6 (đường tròn tiếp xúc hai cạnh ngắn của sân). Khi đó (49a − 6)² = 36(1 + a²) ⇔ 2365a² − 588a = 0 ⇔ a = 588/2365 ≈ 0,2486 (> 6/49, thỏa mãn), khi đó hai parabol vẫn cắt nhau và đường tròn tiếp xúc duy nhất mỗi parabol tại một điểm. Diện tích phần lát gạch: S = π·6² = 36π (m²). Chi phí: 36π · 240 000 = 8 640 000π ≈ 27 143 361 đồng ≈ 27,1 triệu đồng.