Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương sai và độ lệch chuẩn mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, độ lệch chuẩn $s$ là căn bậc hai của phương sai $s^2$, tức phương sai bằng bình phương độ lệch chuẩn. Vậy khẳng định A đúng; B, C, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện: 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5 với tần số 6; 6; 4; 1; 1 (n=18). Tổng: $\sum x_i{n}_i=135+165+130+37,5+42,5=510$, nên $\bar{x}=510/18=85/3\approx 28,33$. Tổng bình phương: $6\cdot 506,25+6\cdot 756,25+4\cdot 1056,25+1406,25+1806,25=15012,5$. Phương sai $s^2=\frac{15012,5}{18}-{\left(\frac{85}{3}\right)}^2\approx 834,03-802,78=31,25$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các lớp: $x_1=15,x_2=25,x_3=35,x_4=45$ với tần số $8,18,24,10$ ($n=60$).

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 15+18\cdot 25+24\cdot 35+10\cdot 45}{60}=\frac{120+450+840+450}{60}=\frac{1860}{60}=31$.

Tổng $\sum n_i{x}_i^2=8\cdot 225+18\cdot 625+24\cdot 1225+10\cdot 2025=1800+11250+29400+20250=62700$.

Phương sai: $s_x^2=\frac{62700}{60}-31^2=1045-961=84$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95 với tần số 3; 5; 5; 8; 7; 5; 3; 4 (n = 40).

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{25\cdot 3+35\cdot 5+45\cdot 5+55\cdot 8+65\cdot 7+75\cdot 5+85\cdot 3+95\cdot 4}{40}=\frac{2380}{40}=59,5$.

Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=625\cdot 3+1225\cdot 5+2025\cdot 5+3025\cdot 8+4225\cdot 7+5625\cdot 5+7225\cdot 3+9025\cdot 4=157800$.

Phương sai: $s^2=\frac{157800}{40}-59,5^2=3945-3540,25=404,75\approx 405$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: 3.36.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $n=4+13+16+17=50$. b) Sai: khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $R=12-0=12\ne 9$. c) Đúng: $\frac{n}{4}=12,5$; tần số tích luỹ đến nhóm $[0;3)$ là $4<12,5$, đến nhóm $[3;6)$ là $17\ge 12,5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$ (cụ thể $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$). d) Đúng: giá trị đại diện các nhóm là $1,5;4,5;7,5;10,5$, số trung bình $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,5+13\cdot 4,5+16\cdot 7,5+17\cdot 10,5}{50}=7,26$; phương sai $s^2=\frac{4(1,5-7,26{)}^2+13(4,5-7,26{)}^2+16(7,5-7,26{)}^2+17(10,5-7,26{)}^2}{50}=\frac{411,12}{50}\approx 8,22>8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=12,5$ nằm giữa tần số tích luỹ $4$ và $17$, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,26$, $s^2\approx 8,22>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=10,3;x_2=10,5;x_3=10,7;x_4=10,9$ với tần số $n_1=3;n_2=7;n_3=8;n_4=2$, cỡ mẫu $n=20$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 10,3+7\cdot 10,5+8\cdot 10,7+2\cdot 10,9}{20}=\frac{211,8}{20}=10,59$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{20}\left[3(10,3-10,59{)}^2+7(10,5-10,59{)}^2+8(10,7-10,59{)}^2+2(10,9-10,59{)}^2\right]$
$=\frac{1}{20}(0,2523+0,0567+0,0968+0,1922)=\frac{0,598}{20}=0,0299$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của các nhóm: 4; 6; 8; 10; 12 (nghìn bước) với tần số 6; 7; 6; 6; 5, n = 30. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 4+7\cdot 6+6\cdot 8+6\cdot 10+5\cdot 12}{30}=\frac{234}{30}=7,8$. Tổng $\sum n_i{x}_i^2=6\cdot 16+7\cdot 36+6\cdot 64+6\cdot 100+5\cdot 144=2052$, nên $s^2=\frac{2052}{30}-7,8^2=68,4-60,84=7,56$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{7,56}\approx 2,75$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tổng: $n=13+45+24+12+6=100$. Giá trị đại diện các nhóm: $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$.

Số trung bình mẫu: $$\bar{x}=\frac{13(19,25)+45(19,75)+24(20,25)+12(20,75)+6(21,25)}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015.$$

Tổng $\sum n_i{x}_i^2=13(370,5625)+45(390,0625)+24(410,0625)+12(430,5625)+6(451,5625)=40087,75$.

Phương sai mẫu: $$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275.$$

Độ lệch chuẩn: $$s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,53.

a) $\overline{x_D}\approx 6,92(m)$ nên a) đúng.

b) $s_D\approx \sqrt{0,073}\approx 0,27(m)$ nên b) đúng.

c) $s_H\approx \sqrt{0,063}\approx 0,25(m)$, phương sai $\approx 0,063$ (không phải 0,16) nên c) sai.

d) Do $s_H<s_D$ nên kết quả của Huy đồng đều hơn của Dũng nên d) sai.

(Ghi chú: bảng đáp án nguồn in cột Câu 3 lỗi đánh máy "b) Đúng, c) Đúng, c) Sai, d) Sai"; căn cứ lời giải chi tiết: a đúng, b đúng, c sai, d sai.)
a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng cho bởi Bảng 15 là: $$\overline{x_D}=\frac{3\cdot 6,34+7\cdot 6,58+5\cdot 6,82+20\cdot 7,06+5\cdot 7,30}{40}=\frac{276,88}{40}\approx 6,92(m).$$ nên a) đúng.
b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng cho bởi Bảng 15 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là: $$s_D^2=\frac{1}{40}[3\cdot (6,34-6,9222{)}^2+7\cdot (6,58-6,922{)}^2+5\cdot (6,82-6,922{)}^2$$ $$+20\cdot (7,06-6,922{)}^2+5\cdot (7,30-6,922{)}^2]$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_D\approx \sqrt{0,073}\approx 0,27(m)$ nên b đúng.
c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy cho bởi Bảng 16 là: $${\overline{x}}_H=\frac{2\cdot 6,34+5\cdot 6,58+8\cdot 6,82+19\cdot 7,06+6\cdot 7,30}{40}=\frac{278,08}{40}\approx 6,95(m).$$ Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy cho bởi Bảng 16 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là: $$s_H^2=\frac{1}{40}[2\cdot (6,34-6,95{)}^2+5\cdot (6,58-6,95{)}^2$$ $$+8\cdot (6,82-6,95{)}^2+19\cdot (7,06-6,95{)}^2$$ $$+6\cdot (7,30-6,95{)}^2]$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s_H\approx \sqrt{0,063}\approx 0,25(m)$ nên c sai.
d) Do $s_H\approx 0,25<s_D\approx 0,27$ nên kết quả nhảy xa của vận động viên Huy đồng đều hơn kết quả nhảy xa của vận động viên Dũng nên d sai.

(AI giải đề cho tôi)
Các giá trị đại diện: $x_1=2,85;x_2=3,15;x_3=3,45;x_4=3,75$ với tần số $n_1=3,n_2=6,n_3=5,n_4=4$, $n=18$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75}{18}=\frac{59,7}{18}=3,31\overline{6}$.
Phương sai: $s^2=\frac{1}{18}\left[3(2,85-\bar{x}{)}^2+6(3,15-\bar{x}{)}^2+5(3,45-\bar{x}{)}^2+4(3,75-\bar{x}{)}^2\right]=\frac{1,66}{18}\approx 0,0922\approx 0,09$.
Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng.

a) Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Cỡ mẫu của mẫu số liệu cổ phiếu $A$ là $n_A=8+9+12+10+11=50$.

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ là $${\overline{x}}_1=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\cdot \left(8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2\right)-{\left(125,28\right)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{7,5216}$.

c) Xét mẫu số liệu cổ phiếu $B$. Ta có cỡ mẫu $n_B=50$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}\approx 125,48.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\cdot \left(16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2\right)-{\left(\frac{6274}{50}\right)}^2\approx 12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{12,4096}$.

d) Mẫu số liệu cổ phiếu $A$ có phương sai $S_1^2=7,5216$ và độ lệch chuẩn $S_1=\sqrt{7,5216}$. Mẫu số liệu cổ phiếu $B$ có phương sai $S_2^2=12,4096$ và độ lệch chuẩn $S_2=\sqrt{12,4096}$. Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.
a) a) Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Cỡ mẫu của mẫu số liệu cổ phiếu $A$ là $n_A=8+9+12+10+11=50$.
b) b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm của cổ phiếu $A$ là $${\overline{x}}_1=\frac{8\cdot 121+9\cdot 123+12\cdot 125+10\cdot 127+11\cdot 129}{50}=125,28.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_1^2=\frac{1}{50}\cdot \left(8\cdot 121^2+9\cdot 123^2+12\cdot 125^2+10\cdot 127^2+11\cdot 129^2\right)-{\left(125,28\right)}^2=7,5216.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_1=\sqrt{7,5216}$.
c) c) Xét mẫu số liệu cổ phiếu $B$. Ta có cỡ mẫu $n_B=50$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $${\overline{x}}_2=\frac{16\cdot 121+4\cdot 123+3\cdot 125+6\cdot 127+21\cdot 129}{50}=\frac{6274}{50}\approx 125,48.$$ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$S_2^2=\frac{1}{50}\cdot \left(16\cdot 121^2+4\cdot 123^2+3\cdot 125^2+6\cdot 127^2+21\cdot 129^2\right)-{\left(\frac{6274}{50}\right)}^2\approx 12,4096.$$ Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_2=\sqrt{12,4096}$.
d) d) Mẫu số liệu cổ phiếu $A$ có phương sai $S_1^2=7,5216$ và độ lệch chuẩn $S_1=\sqrt{7,5216}$. Mẫu số liệu cổ phiếu $B$ có phương sai $S_2^2=12,4096$ và độ lệch chuẩn $S_2=\sqrt{12,4096}$. Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án A.

Số trung bình $\bar{x}=\frac{6\cdot 19+23\cdot 21+12\cdot 23+9\cdot 25}{50}=21,96$. Phương sai $s^2=\frac{6\cdot 19^2+23\cdot 21^2+12\cdot 23^2+9\cdot 25^2}{50}-21,96^2=3,3984⟹s=\sqrt{3,3984}\approx 1,84$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 16 (Phần I) chọn đáp án B.

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai (chứ không phải phương sai là căn bậc hai số học của độ lệch chuẩn), nên khẳng định B sai.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13-15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)