Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm = đầu mút phải của nhóm cuối trừ đầu mút trái của nhóm đầu = 90 - 80 = 10 (gam).

(AI giải đề cho tôi)
$n=56$, $\frac{n}{4}=14$, $\frac{3n}{4}=42$. Tần số tích lũy: 3; 15; 30; 54; 56. $Q_1$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$: $Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 3=15,25$. $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$: $Q_3=18,5+\frac{42-30}{24}\cdot 3=20$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=20-15,25=4,75$.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai lớp n=30, dùng giá trị đại diện 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5.
a) Khoảng biến thiên: 12A: $10-6=4$; 12B: $9-5=4$. Hai khoảng biến thiên bằng nhau nên không kết luận lớp 12A phân tán hơn → sai.
b) Trung bình 12A: ${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 6,5+6\cdot 7,5+12\cdot 8,5+10\cdot 9,5}{30}=\frac{255}{30}=8,5$. Trung bình 12B: ${\bar{x}}_B=\frac{2\cdot 5,5+12\cdot 6,5+10\cdot 7,5+6\cdot 8,5}{30}=\frac{215}{30}\approx 7,17<8,5$ → sai.
c) Lớp 12A: $Q_1$ ở vị trí $7,5$ thuộc nhóm $[7;8)$: $Q_1=7+\frac{7,5-2}{6}\approx 7,917$; $Q_3$ ở vị trí $22,5$ thuộc nhóm $[8;9)$: $Q_3=8+\frac{22,5-8}{12}\approx 9,208$. Khoảng tứ phân vị $\approx 1,29>1$ → đúng.
d) Lớp 12B: $Q_1=6+\frac{7,5-2}{12}\approx 6,458$; $Q_3=7+\frac{22,5-14}{10}=7,85$; khoảng tứ phân vị $\approx 1,39$. Vì $1,29<1,39$ nên khoảng tứ phân vị lớp 12A nhỏ hơn lớp 12B → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên hai lớp đều bằng 4 nên không thể kết luận 12A phân tán hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=8,5>{\bar{x}}_B\approx 7,17$ nên điểm trung bình lớp 12B nhỏ hơn lớp 12A.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 7,917$, $Q_3\approx 9,208$, khoảng tứ phân vị $\approx 1,29>1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
IQR lớp 12A $\approx 1,29$ nhỏ hơn IQR lớp 12B $\approx 1,39$.

(AI giải đề cho tôi)
$n=50$, tần số tích lũy: 6, 18, 37, 46, 50. Vị trí $Q_1=\frac{50}{4}=12,5$ thuộc nhóm $[6;8)$: $Q_1=6+\frac{12,5-6}{12}\cdot 2=\frac{85}{12}\approx 7,0833$. Vị trí $Q_3=\frac{3\cdot 50}{4}=37,5$ thuộc nhóm $[10;12)$: $Q_3=10+\frac{37,5-37}{9}\cdot 2=\frac{91}{9}\approx 10,1111$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 10,1111-7,0833\approx 3,03$.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số cộng dồn: 18; 46; 81; 124; 165; 200 (n=200). Vị trí Q1 là 200/4=50, thuộc nhóm [160;165): $Q_1=160+\frac{50-46}{35}\cdot 5=160+\frac{20}{35}\approx 160,57$ (vì $\frac{4}{35}\cdot 5=\frac{20}{35}\approx 0,571$). Vị trí Q3 là 150, thuộc nhóm [170;175): $Q_3=170+\frac{150-124}{41}\cdot 5=170+\frac{130}{41}\approx 173,17$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 173,17-160,57=12,60$. Lưu ý: nhận xét trong errors cho rằng Q1≈162,86 là sai do tính nhầm $\frac{50-46}{35}\cdot 5$; kết quả đúng vẫn là 160,57 nên đáp án D của nguồn là chính xác.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R=x_{max}-x_{min}$, trong đó $x_{min}=150$ (đầu nhóm đầu tiên $[150;155)$) và $x_{max}=175$ (cuối nhóm cuối cùng $[170;175)$). Vậy $R=175-150=25$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=25$. Tần số tích lũy: 4; 10; 18; 22; 25.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=6,25$ thuộc nhóm $[10;12)$ (tần số 6, cận dưới 10, tần số tích lũy trước là 4):
$$Q_1=10+\frac{6,25-4}{6}\cdot 2=10+\frac{2,25}{3}=10,75.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=18,75$ thuộc nhóm $[14;16)$ (tần số 4, cận dưới 14, tần số tích lũy trước là 18):
$$Q_3=14+\frac{18,75-18}{4}\cdot 2=14+0,375=14,375.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=14,375-10,75=3,625\text{ (giaˆy)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
$n=146$, nên $\frac{n}{4}=36,5$ và $\frac{3n}{4}=109,5$. Tần số tích lũy: 10, 40, 95, 137, 146. Q1 thuộc nhóm $[2;4)$: $Q_1=2+\frac{36,5-10}{30}\cdot 2=2+\frac{53}{30}\approx 3,77$. Q3 thuộc nhóm $[6;8)$: $Q_3=6+\frac{109,5-95}{42}\cdot 2=6+\frac{29}{42}\approx 6,69$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 6,6905-3,7667\approx 2,92$. Khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Mẫu số liệu ghép nhóm, $n=100$, các nhóm có độ dài bằng nhau $d=20$.

a) Khoảng biến thiên: $R=100-0=100$.

Tìm $Q_1$: vì $n/4=25$ và $6<25\le 38$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$ ($x_1=20$, $n_1=6$, $n_2=32$):
$$Q_1=20+\frac{25-6}{32}\cdot 20=20+11,875=31,875\approx 32.$$

Tìm $Q_3$: vì $3n/4=75$ và $38<75\le 88$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[40;60)$ ($x_3=40$, $n_3=50$, $CF=38$):
$$Q_3=40+\frac{75-38}{50}\cdot 20=40+14,8=54,8\approx 55.$$

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=54,8-31,875=22,925\approx 23$.

b) Nên dùng khoảng tứ phân vị. Vì mẫu số liệu có giá trị đặc biệt nhỏ (nhóm $[0;20)$ chỉ có 6 người) và giá trị đặc biệt lớn (nhóm $[80;100)$ chỉ có 2 người); khoảng biến thiên $R=100$ bị ảnh hưởng bởi các giá trị này nên không phản ánh tốt mức độ phân tán. Khoảng tứ phân vị ($\approx 23$) không chịu ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai nên cho đánh giá tin cậy hơn về mức độ biến thiên của phần lớn dữ liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=10-0=10$. Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0103, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
n = 92. Vị trí Q1: n/4 = 23, thuộc nhóm [6;11) (tần số tích lũy 44 ≥ 23). Q1 = 6 + 5·(23 − 14)/30 = 6 + 45/30 = 7,5. Vị trí Q3: 3n/4 = 69, thuộc nhóm [11;16) (tần số tích lũy 69 ≥ 69). Q3 = 11 + 5·(69 − 44)/25 = 11 + 5 = 16. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 16 − 7,5 = 8,5 = 17/2. Vậy đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án A.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=175-150=25$.