Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất đồng thời các biến cố độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hai biến cố độc lập: P(A) = (3/7)·(4/5) = 12/35, tối giản (12 và 35 nguyên tố cùng nhau). Vậy a = 12, b = 35, Q = a + 2b = 12 + 70 = 82. Khớp đáp án nguồn (mã đề 405, Phần III câu 3 = 82).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'An về thăm nhà', $P(A)=0,2$, $P(\bar{A})=0,8$; gọi B là biến cố 'Bình về thăm nhà', $P(B)=0,25$, $P(\bar{B})=0,75$. Vì hai bạn không quen biết nhau nên A và B độc lập. Sơ đồ hình cây có 4 nhánh với các xác suất: $P(AB)=0,2\cdot 0,25=0,05$; $P(A\bar{B})=0,2\cdot 0,75=0,15$; $P(\bar{A}B)=0,8\cdot 0,25=0,2$; $P(\bar{A}\bar{B})=0,8\cdot 0,75=0,6$ (tổng bằng 1, kiểm tra đúng).
a) Cả hai đều về: $P(AB)=0,05$.
b) Ít nhất một bạn về: $P=1-P(\bar{A}\bar{B})=1-0,6=0,4$ (hoặc $0,05+0,15+0,2=0,4$).
c) Cả hai đều không về: $P(\bar{A}\bar{B})=0,6$.
d) Chỉ An về: $P(A\bar{B})=0,15$.
e) Đúng một bạn về: $P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)=0,15+0,2=0,35$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$, $B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các biến cố độc lập: D (hoàn thành ô chữ dễ) với P(D)=0,84; T (trung bình) với P(T)=0,59; K (khó) với P(K)=0,11. Do ba biến cố độc lập nên xác suất của giao bằng tích các xác suất.
a) Hoàn thành cả 3 ô chữ: P(D∩T∩K)=0,84·0,59·0,11=0,054516. Đúng.
b) Bỏ trống cả 3 ô chữ: P(D̄∩T̄∩K̄)=(1−0,84)(1−0,59)(1−0,11)=0,16·0,41·0,89=0,058384. Đúng.
c) Hoàn thành ô chữ dễ và trung bình nhưng không phải ô chữ khó: P(D∩T∩K̄)=0,84·0,59·0,89=0,441084 ≠ 0,054516. Sai (giá trị 0,054516 là của câu a).
d) Hoàn thành ô chữ trung bình nhưng không phải hai ô chữ còn lại: P(D̄∩T∩K̄)=0,16·0,59·0,89=0,084016. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(D∩T∩K)=0,84·0,59·0,11=0,054516.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(D̄∩T̄∩K̄)=0,16·0,41·0,89=0,058384.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(D∩T∩K̄)=0,84·0,59·0,89=0,441084, không phải 0,054516.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(D̄∩T∩K̄)=0,16·0,59·0,89=0,084016.

(AI giải đề cho tôi)
Để con trai đầu tiên ở lần sinh thứ 2 thì lần sinh thứ nhất phải là con gái và lần sinh thứ hai là con trai. Các lần sinh độc lập nên $P(C)=0,49\cdot 0,51=0,2499$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì A, B độc lập nên $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,5\cdot 0,2=0,1$. Khớp với đáp án A và bảng đáp án (mã 1102, câu 3: A).

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ, B là biến cố An làm đúng câu trung bình, C là biến cố An làm đúng câu khó. Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.
a) a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.

a) Gọi $A_i$ là biến cố “Game thủ X thắng trận đấu thứ i”. $A$ là biến cố “Hai trận đấu đầu tiên mỗi người chơi thắng một trận”.
Khi đó, $P(A_i)=P(\overline{A_i})=0,5$
$$A=A_1\overline{A_2}\cup \overline{A_1}{A}_2$$
Nên
$$P(A)=P(A_1\overline{A_2})+P(\overline{A_1}{A}_2)=P(A_1)P(\overline{A_2})+P(\overline{A_1})P(A_2)$$
$$=0,5.0,5+0,5.0,5=0,5.$$

b) Tại thời điểm game thủ X đã thắng 5 trận và game thủ Y mới thắng 3 trận.
Gọi $B$ là biến cố “Game thủ X giành chiến thắng”.
Khi đó, $B=A_9\cup \overline{A_9}{A}_{10}\cup \overline{A_9}\overline{A_{10}}{A}_{11}$
Nên $P(B)=P(A_9)+P(\overline{A_9})P(A_{10})+P(\overline{A_9})P(\overline{A_{10}})P(A_{11})$
$$=0,5+0,5.0,5+0,5.0,5.0,5=0,875.$$

(AI giải đề cho tôi)
Để bắn đúng 7 lần thì dừng, lần bắn thứ 7 phải trúng và trong 6 lần đầu có đúng 3 lần trúng. Xác suất: $P=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)(0,75{)}^4(0,25{)}^3=20\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^4{\left(\frac{1}{4}\right)}^3=20\cdot \frac{81}{256}\cdot \frac{1}{64}=\frac{1620}{16384}=\frac{405}{4096}$. Phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{405}{4096}$ (405 và 4096 nguyên tố cùng nhau vì $4096=2^{12}$). Vậy $b-a=4096-405=3691$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)P(B)$, suy ra $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0,2}{0,4}=0,5$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.