Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất đồng thời các biến cố độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
An thắng chung cuộc khi thắng trước 3 séc. Gọi p=0,4 (thắng séc), q=0,6.
- Thắng 3-0: $0,4^3=0,064$.
- Thắng 3-1: thắng séc thứ 4 và 2 trong 3 séc đầu: $C_3^2\cdot 0,4^2\cdot 0,6\cdot 0,4=3\cdot 0,0384=0,1152$.
- Thắng 3-2: thắng séc thứ 5 và 2 trong 4 séc đầu: $C_4^2\cdot 0,4^2\cdot 0,6^2\cdot 0,4=6\cdot 0,02304=0,13824$.
Tổng: $P=0,064+0,1152+0,13824=0,31744\approx 0,32$.

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ, B là biến cố An làm đúng câu trung bình, C là biến cố An làm đúng câu khó. Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.
a) a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.

a) Gọi $A_i$ là biến cố “Game thủ X thắng trận đấu thứ i”. $A$ là biến cố “Hai trận đấu đầu tiên mỗi người chơi thắng một trận”.
Khi đó, $P(A_i)=P(\overline{A_i})=0,5$
$$A=A_1\overline{A_2}\cup \overline{A_1}{A}_2$$
Nên
$$P(A)=P(A_1\overline{A_2})+P(\overline{A_1}{A}_2)=P(A_1)P(\overline{A_2})+P(\overline{A_1})P(A_2)$$
$$=0,5.0,5+0,5.0,5=0,5.$$

b) Tại thời điểm game thủ X đã thắng 5 trận và game thủ Y mới thắng 3 trận.
Gọi $B$ là biến cố “Game thủ X giành chiến thắng”.
Khi đó, $B=A_9\cup \overline{A_9}{A}_{10}\cup \overline{A_9}\overline{A_{10}}{A}_{11}$
Nên $P(B)=P(A_9)+P(\overline{A_9})P(A_{10})+P(\overline{A_9})P(\overline{A_{10}})P(A_{11})$
$$=0,5+0,5.0,5+0,5.0,5.0,5=0,875.$$

(AI giải đề cho tôi)
Để bắn đúng 7 lần thì dừng, lần bắn thứ 7 phải trúng và trong 6 lần đầu có đúng 3 lần trúng. Xác suất: $P=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)(0,75{)}^4(0,25{)}^3=20\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^4{\left(\frac{1}{4}\right)}^3=20\cdot \frac{81}{256}\cdot \frac{1}{64}=\frac{1620}{16384}=\frac{405}{4096}$. Phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{405}{4096}$ (405 và 4096 nguyên tố cùng nhau vì $4096=2^{12}$). Vậy $b-a=4096-405=3691$, khớp với đáp án nguồn.