Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất hậu nghiệm bằng Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi G là biến cố học sinh biết chơi guitar, CL là thuộc câu lạc bộ âm nhạc. $P(G)=0,2\cdot 0,85+0,8\cdot 0,10=0,17+0,08=0,25$. Xác suất cần tìm: $P(CL|G)=\frac{0,17}{0,25}=\frac{17}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi X, Y là biến cố máy bay xuất hiện tại X, Y: P(X)=0,55; P(Y)=0,45. Xác suất bị bắn hạ: tại X bắn 2 quả độc lập, trúng ít nhất 1 quả: 1−0,2²=0,96; tại Y bắn 1 quả: 0,8. Theo công thức Bayes: P(X|Hạ)= (0,55·0,96)/(0,55·0,96+0,45·0,8)=0,528/0,888≈0,5946≈0,59. Khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_1,H_2$ là biến cố sản phẩm do nhà máy một, hai sản xuất. Tỉ lệ đóng góp của nhà máy một bằng $\frac{1}{3}$ của nhà máy hai nên $P(H_1)=\frac{1}{4},P(H_2)=\frac{3}{4}$. Xác suất phế phẩm: $P(F)=\frac{1}{4}\cdot 0,001+\frac{3}{4}\cdot 0,002=0,00025+0,0015=0,00175$. Theo Bayes: $P(H_2|F)=\frac{0,0015}{0,00175}=\frac{6}{7}$, vậy $a=6,b=7$, $a-2b=6-14=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là biến cố cặp song sinh cùng trứng, $S$ là biến cố cặp có cùng giới tính. Xác suất cặp cùng giới tính: $P(S)=0,34+0,30=0,64$. Gọi $P(I)=x$, khi đó $P(S)=P(I)\cdot 1+P(\overline{I})\cdot \frac{1}{2}=x+\frac{1-x}{2}=\frac{1+x}{2}=0,64$, suy ra $x=0,28$. Theo công thức Bayes: $P(I\mid S)=\frac{P(I)P(S\mid I)}{P(S)}=\frac{0,28}{0,64}=0,4375\approx 0,4$. Khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M_1,M_2$ lần lượt là biến cố sản phẩm do máy thứ nhất, máy thứ hai sản xuất; $D$ là biến cố sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Ta có $P(M_1)=0,65$, $P(M_2)=0,35$, $P(D|M_1)=0,8$, $P(D|M_2)=0,85$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=0,65\cdot 0,8+0,35\cdot 0,85=0,52+0,2975=0,8175$. Theo công thức Bayes: $P(M_1|D)=\frac{0,52}{0,8175}\approx 0,6361\approx 64\%$. Vậy xác suất cần tìm là $0,64$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là $64\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi X là biến cố máy bay xuất hiện ở khu vực X: $P(X)=0,6$, $P(Y)=0,4$. Xác suất máy bay không bị hạ: nếu ở X (bắn 2 tên lửa, cả hai đều trượt): $0,2^2=0,04$; nếu ở Y (bắn 1 tên lửa, trượt): $0,2$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(\overline{H})=0,6\cdot 0,04+0,4\cdot 0,2=0,024+0,08=0,104$. Theo công thức Bayes: $P(X|\overline{H})=\frac{0,6\cdot 0,04}{0,104}=\frac{0,024}{0,104}=\frac{3}{13}\approx 0,2308$. Quy tròn đến hàng phần trăm: $0,23$.

a) Sai: Xác suất cả hai mô hình đều dự báo sai là $0,2\cdot 0,1=0,02$.
b) Sai: Khi M1 báo không mưa và M2 báo có mưa, xác suất thực tế không mưa (tức M1 đúng) là $\frac{0,8\cdot 0,8\cdot 0,1}{0,8\cdot 0,8\cdot 0,1+0,2\cdot 0,2\cdot 0,9}=\frac{16}{25}>\frac{9}{25}$ (hoặc xét xác suất có điều kiện từng mô hình $\frac{16}{17}>\frac{9}{13}$).
c) Đúng: $P(M_1{M}_2)=0,2\cdot 0,8\cdot 0,9+0,8\cdot 0,2\cdot 0,1=0,16$.
d) Đúng: $P(M\mid M_1{M}_2)=\frac{0,144}{0,16}=0,9$.

Gọi $E$ là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn ($P(E)=0,5$) và $O$ là biến cố xuất hiện mặt lẻ ($P(O)=0,5$). Gọi $B_2$ là biến cố $2$ viên bi lấy ra cuối cùng đều màu đen.
- Tính $P(B_2|E)$ (chuyển $2$ bi từ Hộp I sang Hộp II rồi lấy $2$ bi từ Hộp II gồm $7$ bi):
+ Chuyển $2$ trắng (xác suất $\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$): Hộp II có $3$ trắng, $4$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_4^2}{C_7^2}=\frac{6}{21}$.
+ Chuyển $1$ trắng, $1$ đen (xác suất $\frac{C_3^1{C}_2^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}$): Hộp II có $2$ trắng, $5$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_5^2}{C_7^2}=\frac{10}{21}$.
+ Chuyển $2$ đen (xác suất $\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$): Hộp II có $1$ trắng, $6$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_6^2}{C_7^2}=\frac{15}{21}$.
Do đó $P(B_2|E)=\frac{3}{10}\cdot \frac{6}{21}+\frac{6}{10}\cdot \frac{10}{21}+\frac{1}{10}\cdot \frac{15}{21}=\frac{93}{210}=\frac{31}{70}$.
- Tính $P(B_2|O)$ (chuyển $2$ bi từ Hộp I sang Hộp III rồi lấy $2$ bi từ Hộp III gồm $6$ bi):
+ Chuyển $2$ trắng (xác suất $\frac{3}{10}$): Hộp III có $2$ trắng, $4$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}$.
+ Chuyển $1$ trắng, $1$ đen (xác suất $\frac{6}{10}$): Hộp III có $1$ trắng, $5$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $\frac{C_5^2}{C_6^2}=\frac{10}{15}$.
+ Chuyển $2$ đen (xác suất $\frac{1}{10}$): Hộp III có $6$ đen $\Rightarrow$ xác suất lấy $2$ đen là $1$.
Do đó $P(B_2|O)=\frac{3}{10}\cdot \frac{6}{15}+\frac{6}{10}\cdot \frac{10}{15}+\frac{1}{10}\cdot 1=\frac{93}{150}=\frac{31}{50}$.
Áp dụng công thức Bayes:
$P(E|B_2)=\frac{0,5\cdot \frac{31}{70}}{0,5\cdot \frac{31}{70}+0,5\cdot \frac{31}{50}}=\frac{\frac{1}{70}}{\frac{1}{70}+\frac{1}{50}}=\frac{5}{12}\approx 0,42$.
Đáp số: 0,42.