Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-7}{5}$, đường thẳng nào dưới đây đi qua hình chiếu của điểm $Q(3;-5;7)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ và song song với đường thẳng $\Delta$?

Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $A(3;-3;2)$

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+3y-2z+1=0$. Đường thẳng $d_2$ vuông góc với ${\Delta }_2$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ có vecto chỉ phương là

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ là $4,5$ m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).



Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ $x_B=550$, khi đó quãng đường $AB$ dài

Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy; $M$ là trung điểm của cạnh $SB$. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên dưới, cosin của góc giữa đường thẳng $DM$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{6}$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-2+5t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+s\\ y=2+s\\ z=1+3s\end{array}$.

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z+2}{1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 14. Trong $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;0;2)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A(1;3;4)$ và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi, vectơ vận tốc (trên giây) là $\overrightarrow{v}=(2;1;6)$.

Câu 17. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6m vuông góc với mặt đất có chân cột đặt tại vị trí $O$ trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời thì bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°). Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc tọa độ là $O$, tia $Ox$ chỉ hướng nam, tia $Oy$ chỉ hướng đông, tia $Oz$ chứa cây cột, đơn vị đo là mét.

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-2;3)$, $B(2;b;c)$, mặt phẳng $(\alpha ):x+3y-2z+5=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}$. Khi đó, để đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A$, $B$, song song với mặt phẳng $(\alpha )$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ thì $b+c$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A(1;2;3)$ và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; véc tơ vận tốc (trên giây) là $\vec{v}=(2;1;5)$. Khi viên đạn trúng mục tiêu tại điểm $B(-5;a;b)$ thì giá trị của biểu thức $b^a$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian $Oxyz$ cho biết phương trình trục $a$ của mũi khoan và một đường rãnh $b$ trên vật cần khoan (tham khảo hình vẽ) lần lượt là $a:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3t\end{array}$ và $b:\{\begin{array}{l}x=1+4k\\ y=2+2k\\ z=6\end{array}$. Tọa độ giao điểm của $a$ và $b$ là $M(a;b;c)$. Tính $S=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, Cho ba mặt phẳng $(\alpha ):x+y+2z+1=0$ ; $(\beta ):x+y-z+2=0$ ; $(\gamma ):x-y+5=0$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$ và $d^{\prime }:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=-2t\\ y=-5+3t\\ z=4+t\end{array}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai đường thẳng: $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-2+t\\ z=1+t\end{array}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1$ và đường thẳng $d_2$ lần lượt có véc-tơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{d_1}=(1;-2;-3)$ và ${\vec{u}}_{d_2}=(-4;1;5)$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ là

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=2+3t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-y-2z+4=0$ bằng (kết quả làm tròn đến độ)

Trong không gian $Oxyz$, cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$ và $(Q):x+y+z-1=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a,b,c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(\frac{8}{3};0;0\right)$, $B(0;2;0)$, $C\left(0;0;\frac{8}{5}\right)$ và $\Delta :\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-5}{-5}$. Khi đó góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$, $(Q):x+my+(m-1)z+2019=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q):-3x+7y-9z-5=0$.

Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo cáp có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ là $4,5(m/s)$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) được mô hình hóa như các hình vẽ sau:

Một hộp quà được gắn với hệ tọa độ $Oxyz$ như hình có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng $x$ sao cho $O\equiv D_1$, $C_1\in Ox$, $A_1\in Oy$, $D\in Oz$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3,5;-2;0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5;5,5;0)$ trên đường băng $EG$

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp $S.ABCD$ , có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m , các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (hình vẽ). Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $BG$ và $SA$ (làm tròn tới hàng đơn vị độ).

Trên khu vực miền núi thì người dân thường xây dựng nhà ở dạng nhà sàn và được minh họa như hình vẽ dưới đây



Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật $CDFE$ và một hình thang $ADFG$ với các điểm có tọa độ lần lượt là $G(6;-6;6)$; $C(3;4;8)$; $F\left(4;-4;7\right)$ và điểm $I$ là trung điểm $CE$. Biết góc giữa hai vecto $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $a^{\circ }$. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và mặt phẳng $(Q):4x-4y+3z-2=0$. Đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$, có một vecto chỉ phương $\vec{u}=(m;n;1)$. Khi $\Delta$ tạo với $(Q)$ một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(Q)$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$. Xác định tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=9$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$ lần lượt là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(3;1;0)$. Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $I\left(1;0;-1\right)$ và $A\left(2;2;-3\right)$. Mặt cầu $(S)$ tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;-3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z+12=0$. Phương trình của $(S)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(3;4;0)$, $B(2;5;4)$, $C(-1;1;1)$, $D(3;5;3)$. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ trong các điểm có tọa độ lần lượt là $(0;0;0)$, $(1;2;3)$, $(2;0;6)$ thì có bao nhiêu điểm trên mặt cầu.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+y^2+z^2=9$ và $(S^{\prime }):(x+2{)}^2+y^2+z^2=4$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và ba điểm $A(1;0;0),B(2;1;3),C(0;2;-3)$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn biểu thức ${\overrightarrow{MA}}^2+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8$ là đường tròn cố định, bán kính $r$ của đường tròn này là.

Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+1=0$ có tâm $I$ và bán kính $R$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: