Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d$ là $\vec{u}=(4;3;1)$, VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(3;5;-1)$. Ta có $\vec{u}\cdot \vec{n}=12+15-1=26\ne 0$ nên $d$ không song song và không nằm trong $(P)$, cũng không vuông góc (vì $\vec{u}$ không cùng phương $\vec{n}$). Điểm $d$ đi qua $(12;9;1)$: thay vào $(P)$: $36+45-1-2=78\ne 0$ nên điểm này không thuộc $(P)$. Vậy $d$ cắt $(P)$ tại một điểm.