Câu 14. Trong $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
d có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;1;3)$, đi qua điểm $(-1;0;-2)$. a) Sai: VTCP là $(2;1;3)$, không phải $(-1;0;-2)$. b) $\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{n_P}=2\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot 1=7\ne 0$ nên $d$ cắt $(P)$: đúng. c) Tham số hóa $d$: $x=-1+2t,y=t,z=-2+3t$. Thay vào $(P)$: $-1+2t+2t-2+3t-4=0\iff 7t=7\iff t=1\Rightarrow H=(1;1;1)\ne (1;-1;1)$: sai. d) $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(5;-1;-3)$: $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{u_d}=10-1-9=0$ nên $\Delta \perp d$; $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{n_P}=5-2-3=0$ nên $\Delta \parallel (P)$. Điểm $(1;1;1)=H\in d$ và thuộc $(P)$ vì $1+2+1-4=0$, nên $\Delta$ nằm trong $(P)$, cắt và vuông góc với $d$: đúng.
a) Từ phương trình của $d$, vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u_d}=(2;1;3)$, không phải $(-1;0;-2)$. Vậy khẳng định sai.
b) Ta có $\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{n_P}=2\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot 1=7\ne 0$, nên $d$ cắt $(P)$. Vậy khẳng định đúng.
c) Điểm trên $d$: $x=-1+2t,y=t,z=-2+3t$. Thay vào $(P)$: $-1+2t+2t-2+3t-4=0\iff 7t=7\iff t=1$. Suy ra $H=(1;1;1)$, không phải $(1;-1;1)$. Vậy khẳng định sai.
d) Với $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(5;-1;-3)$: $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{u_d}=10-1-9=0$ nên $\Delta \perp d$; $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{n_P}=5-2-3=0$ nên $\Delta \parallel (P)$. Điểm $(1;1;1)$ thuộc $(P)$ vì $1+2+1-4=0$, và $(1;1;1)=H\in d$ nên $\Delta$ nằm trong $(P)$, cắt và vuông góc với $d$. Vậy khẳng định đúng.