Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài $12(m)$ và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân $ABCD$ như hình vẽ (bờ sông là đường thẳng $DC$ không phải rào, mỗi tấm là một cạnh của hình thang). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu $m^2$.

Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh huyền của tam giác đó là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-5;2;0)$, $B(-4;-5;2)$ và $C(0;-3;-2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $P=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $P$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $2a+3b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=BC=a$; $AD=2a$; $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$ là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^{\circ }$, tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách $h$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{2024}{\sqrt{x^3-3x^2-m-1}}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng 2. Gọi $E,F,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $AD$ và điểm $G$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Giá trị $\cos \left(\overrightarrow{GE},\overrightarrow{MF}\right)$ bằng

Cho tứ diện $OABC$ có $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=60^{\circ }$; $\widehat{AOC}=90^{\circ }$; $OA=OB=OC=1$. $M$ là điểm thuộc cạnh $OA$ sao cho $AM=2.MO$; $N$ là trung điểm $BC$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$.

Cho hàm số hữu tỉ $y=ax+2+\frac{b}{x+c}$ có đồ thị như hình bên dưới. Giá trị của $P=a+b+c$ bằng

Cho hàm số $y={\left(x+1\right)}^2.e^{-x}$. Khẳng định nào đúng?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)=\frac{2025}{f\left(x\right)-1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức $G(x)=0,25x^2(30-x)$ trong đó $x(mg)$ và $x>0$ là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu:

Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{x}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{y}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{z}$. Phân tích véc tơ $\overrightarrow{MG}$ theo $\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$.

Cho bảng phân bố tần số ghép lớp về độ dài của 60 lá dương xi trường thành như sau: Tính phương sai bằng phân bố tần số ghép lớp đã cho

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a\sqrt{3}$, $AC=A{A}^{\prime }=a$. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng

Một cửa hàng bán máy tính laptop trung bình bán được 1000 laptop mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng cho một laptop thì số lượng máy tính bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 chiếc mỗi tháng.

Một hộp chứa 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $y=\frac{-x^2+2(m+1)x-5}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ với $m$ là tham số

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng 2. Gọi $E,F,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $AD$ và điểm $G$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Góc giữa hai đường thẳng $EG$ và $FM$ là $\alpha$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $A^{\prime }(0;0;3)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $BD,A{D}^{\prime }$ sao cho $AN=DM$, $P$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là vuông cạnh $a\sqrt{2}$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Vẽ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau.

Người ta dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 6 m và chiều rộng 5 m bằng cách: Gấp đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều dài của tấm bạt sao cho hai mép cạnh chiều rộng của tấm bạt sát đất và cách nhau $x(m)$, hai đầu hồi của lều được thiết kế cửa ra, vào và có thể khép kín (tham khảo hình vẽ dưới). Thể tích không gian phía trong lều lớn nhất bằng $\frac{a}{b}\left(m^3\right)$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $a+b$?

Trong hệ trục tọa độ $(Oxy)$, cho đồ thị hàm số $(C)$: $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ với $x>-1$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm $I(-1;-1)$, biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là $x_0=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}-b$ (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức $P=a.n+b$?

Cho tứ diện $ABCD$. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 4 điểm chia đều cạnh đó thành các phần bằng nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh lấy từ 24 điểm đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho.

Một chiếc điện thoại iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt $S(0;0;30)$ và các điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là $A(0;-6;0)$, $B(3\sqrt{3};3;0)$, $C(-3\sqrt{3};3;0)$ (đơn vị cm). Cho biết điện thoại có trọng lượng là 2 N và ba lực tác động lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn bằng nhau. Biết tọa độ của lực $\overrightarrow{F_1}=(a;b;c)$, khi đó $P=3a+5b+8c$ bằng?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(0;0;4)$ và $N\left(\frac{3}{2};2;6\right)$. Xét điểm $I(a;b;c)$ thay đổi sao cho $IN$ luôn vuông góc với $OM$ và diện tích tam giác $IMO$ bằng 8. Khi độ dài đoạn thẳng $IN$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị $5a+5b+c$ bằng bao nhiêu?

Một xe ô tô chở khách du lịch có sức chứa tối đa 29 hành khách. Trong khu du lịch Đền Hùng, một đoàn khách gồm 40 người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Người lái xe đưa ra thỏa thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở $x$ (người) thì giá tiền cho mỗi người là $\frac{(100-x{)}^2}{40}$ (nghìn đồng) và một chuyến không chở dưới 15 người. Hỏi với thỏa thuận như trên thì cần trả ít nhất bao nhiêu nghìn đồng để cả đoàn được đưa về khách sạn bằng xe du lịch?