Cho tứ diện $ABCD$. Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 4 điểm chia đều cạnh đó thành các phần bằng nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh lấy từ 24 điểm đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tứ diện $ABCD$, mỗi cạnh có 4 điểm đánh dấu (không kể đỉnh), tổng $6\times 4=24$ điểm. Một mặt phẳng song song với đúng một cạnh, chẳng hạn cạnh $AB$, không được song song với cạnh nào khác và phải chứa ít nhất 3 điểm đánh dấu. Xét các mặt phẳng song song với $AB$:

1) Mặt phẳng cắt cả 4 cạnh $AC,AD,BC,BD$: giao tuyến với mặt $(ABC)$ là đường thẳng qua 2 điểm trên $AC,BC$ cùng tỉ số chia $t$ (song song $AB$), giao tuyến với $(ABD)$ qua 2 điểm trên $AD,BD$ cùng tỉ số $s$. Nếu $t=s$ thì mặt phẳng chứa hướng của $CD$ nên song song với cả $CD$ (loại). Với $t\ne s$, $t,s\in \{1,2,3,4\}$: có $4\times 3=12$ mặt phẳng, mỗi mặt chứa đúng 4 điểm đánh dấu nên cho $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ tam giác: $12\times 4=48$ tam giác.

2) Mặt phẳng cắt 3 cạnh $AC,BC,CD$: chứa đường thẳng qua 2 điểm trên $AC,BC$ cùng tỉ số $t$ (song song $AB$) và 1 điểm trên $CD$: $4\times 4=16$ mặt phẳng, mỗi mặt chứa đúng 3 điểm (giao tuyến với $AD,BD$ rơi ngoài đoạn nên không trùng điểm đánh dấu), cho 16 tam giác. Tương tự với mặt phẳng cắt $AD,BD,CD$: 16 tam giác.

Mặt phẳng chứa điểm trên $AB$ buộc chứa cả đường thẳng $AB$ (là mặt của tứ diện, không thỏa); mặt phẳng chứa 2 điểm trên một cạnh hoặc chứa $CD$ không song song với $AB$. Kiểm tra thêm: các mặt phẳng trên không song song với cạnh nào khác ngoài $AB$.

Vậy mỗi cạnh cho $48+16+16=80$ tam giác. Có 6 cạnh và mỗi tam giác được tính đúng một lần (mặt phẳng song song với đúng một cạnh), nên tổng số tam giác là $6\times 80=480$.