Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng 2. Gọi $E,F,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $AD$ và điểm $G$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Giá trị $\cos \left(\overrightarrow{GE},\overrightarrow{MF}\right)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $B=(0,0,0)$, $C=(2,0,0)$, $D=(1,\sqrt{3},0)$, $A=(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})$ (tứ diện đều cạnh 2). Tam giác $BCD$ đều nên trực tâm trùng trọng tâm: $G=(1,\frac{\sqrt{3}}{3},0)$. Trung điểm: $E=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{3})$, $F=(1,0,0)$, $M=(1,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3})$. Suy ra $\overrightarrow{GE}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{3})$, $\overrightarrow{MF}=(0,-\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3})$. Tích vô hướng: $0+\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$. Độ dài: $|\overrightarrow{GE}{|}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}=1$, $|\overrightarrow{MF}{|}^2=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=2$. Vậy $\cos (\overrightarrow{GE},\overrightarrow{MF})=\frac{-1/3}{1\cdot \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{6}$.