Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=BC=a$; $AD=2a$; $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$ là:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;2a;0)$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a$, $AD=2a$). $M$ trung điểm $AD$ nên $M(0;a;0)$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$, với $AC=a\sqrt{2}$ suy ra $SA=AC\tan 45^{\circ }=a\sqrt{2}$, tức $S(0;0;a\sqrt{2})$.

Đường thẳng $SM$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(0;a;-a\sqrt{2})$; đường thẳng $BD$ có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(-1;2;0)$. Lấy $S\in SM$, $B\in BD$ nên $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{2})$.

Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(2a\sqrt{2};a\sqrt{2};a)$, độ dài $|\vec{n}|=a\sqrt{8+2+1}=a\sqrt{11}$.

Khoảng cách giữa $SM$ và $BD$: $d=\frac{|\overrightarrow{SB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|2a^2\sqrt{2}-a^2\sqrt{2}|}{a\sqrt{11}}=\frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{11}}=\frac{a\sqrt{22}}{11}$.