Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-5;2;0)$, $B(-4;-5;2)$ và $C(0;-3;-2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $P=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $P$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $2a+3b$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M(x;0;0)$ trên trục $Ox$. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(-3;-2;0\right)$. Và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$ với $I$ là trung điểm $BC$: $I=(-2;-4;0)$. Do đó $P=3MG+\frac{3}{2}\cdot 2MI=3(MG+MI)$. Với $M(x;0;0)$: $MG=\sqrt{(x+3{)}^2+4}$, $MI=\sqrt{(x+2{)}^2+16}$. Cần min $f=\sqrt{(x+3{)}^2+4}+\sqrt{(x+2{)}^2+16}$: lấy điểm $G^{\prime }(-3;2)$ đối xứng với $G(-3;-2)$ qua trục $Ox$ (trong mặt phẳng $Oxy$), khi đó $MG+MI=G^{\prime }M+MI\ge G^{\prime }I=\sqrt{(-3+2{)}^2+(2+4{)}^2}=\sqrt{37}$, dấu bằng khi $M$ là giao điểm của $G^{\prime }I$ với trục $Ox$ (tồn tại vì $G^{\prime }I$ cắt $Ox$). Vậy $P_{\min }=3\sqrt{37}$, tức $a=3$, $b=37$ (nguyên tố), nên $2a+3b=6+111=117$.