Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;3;0)$, $A^{\prime }(0;0;3)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $BD,A{D}^{\prime }$ sao cho $AN=DM$, $P$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: C(3;3;0), B'(3;0;3), C'(3;3;3), D'(0;3;3), P trung điểm B'C' nên P(3; 3/2; 3).
a) AP→ = (3; 3/2; 3), BC'→ = (0; 3; 3). cos = |0 + 9/2 + 9| / (√(81/4)·√18) = (27/2)/((9/2)·3√2) = 1/√2 ⇒ góc bằng 45°, không phải 60°. Sai.
b) Trọng tâm tam giác PCD: ((3+3+0)/3; (3/2+3+3)/3; (3+0+0)/3) = (2; 5/2; 1). Đúng.
c) KP→+KC→+KD→ = 3K→ − (P→+C→+D→) = (3x−6; −15/2; 3z−3) với K(x;0;z). Giá trị nhỏ nhất = 15/2 (khi x=2, z=1), không phải 5/2. Sai.
d) M trên BD: M(3−3t; 3t; 0); N trên AD': N(0; 3s; 3s). Điều kiện AN = DM ⇒ 3s√2 = 3t√2 ⇒ s = t. MN→ = (3−3t; 0; −3t), MN² = 9(1−t)² + 9t² = 9(2t²−2t+1), nhỏ nhất tại t = 1/2 với MN = 3√2/2, không phải √2. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos(AP→, BC'→) = 1/√2 nên góc bằng 45°, không phải 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác PCD với P(3;3/2;3), C(3;3;0), D(0;3;0) là (2; 5/2; 1).
c) (AI giải đề cho tôi)
KP→+KC→+KD→ = (3x−6; −15/2; 3z−3), giá trị nhỏ nhất bằng 15/2, không phải 5/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với s = t, MN² = 9(2t²−2t+1) đạt min 9/2 tại t = 1/2, nên MN min = 3√2/2, không phải √2.