Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{50}^2=1225$. Trong các số từ 1 đến 50 có 16 số chia hết cho 3 (3, 6, ..., 48) và 34 số không chia hết cho 3. Ta có $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ chia hết cho 3 khi và chỉ khi $a\equiv b(\mathrm{mod}3)$ (vì nếu $a,b$ khác dư modulo 3 thì $a^2\equiv b^2\equiv 1$ hoặc một trong hai bằng 0, kiểm tra: $a^2\equiv b^2(\mathrm{mod}3)⟺a\equiv b(\mathrm{mod}3)$ do bình phương modulo 3 chỉ là 0 hoặc 1). Vậy hai thẻ phải cùng dư modulo 3: hoặc cùng chia hết cho 3, hoặc cùng không chia hết cho 3. Số cách chọn: $C_{16}^2+C_{34}^2=120+561=681$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{681}{1225}$. Kết quả trùng với đáp án C trong đề và với bảng đáp án mã đề 101, câu 5.