Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^2(2x+m+1)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên âm $m$ để hàm số $g(x)=f(x^2)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x^2)$ nên $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2x\cdot x^2{\left(x^2-2\right)}^2\left(2x^2+m+1\right)$. Trên khoảng $(1;+\infty )$ ta có $2x>0$, $x^2>0$, ${\left(x^2-2\right)}^2\ge 0$, do đó $g$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $2x^2+m+1>0$ với mọi $x>1$. Vì $2x^2+m+1$ tăng theo $x$ nên điều kiện là $2(1{)}^2+m+1\ge 0\iff m\ge -3$. Các số nguyên âm thỏa mãn: $m\in \{-3,-2,-1\}$, tức có $3$ giá trị. Khớp với đáp án B.