Từ một tấm thép hình bán nguyệt là nửa đường tròn có đường kính $40$ cm, người ra muốn cắt ra một tấm thép hình chữ nhật (có một cạnh nằm trên đường kính của hình bán nguyệt như hình vẽ) có diện tích lớn nhất có thể. Tìm giá trị của diện tích lớn nhất đó (đơn vị $c{m}^2$) (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bán kính đường tròn là $R=20$ cm. Đặt hình chữ nhật có cạnh đáy nằm trên đường kính, hai đỉnh trên cung bán nguyệt tại vị trí cách tâm $O$ một khoảng $x$ ($0<x<20$). Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là $2x$, chiều cao là $y=\sqrt{400-x^2}$. Diện tích $S=2x\sqrt{400-x^2}$, nên $S^2=4x^2(400-x^2)$. Đặt $t=x^2\in (0;400)$, hàm $f(t)=4t(400-t)$ đạt max tại $t=200$ với giá trị $f(200)=4\cdot 200\cdot 200=160000$, tức $S_{\max }=\sqrt{160000}=400$ cm${}^2$. Vậy diện tích lớn nhất là $400$ cm${}^2$, khớp đáp án C.