Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông có $AB=AC$; $BC=SB=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $M$ của $BC$. Biết số đo của góc nhị diện $[B,SA,C]$ bằng $\alpha$. Tính $\cos \alpha$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $M(0;0;0)$, $B\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $C\left(-\frac{a}{2};0;0\right)$, $A\left(0;\frac{a}{2};0\right)$ (vì tam giác vuông cân tại $A$ nên $AM=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$). Vì $SM\perp (ABC)$ và $SB=a$, $MB=\frac{a}{2}$ nên $SM=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, tức $S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Kiểm tra: $S{A}^2=A{M}^2+S{M}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}=a^2\Rightarrow SA=a$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ (đồng thời của $C$ do đối xứng) trên đường thẳng $SA$. Với $\vec{u}=\frac{\overrightarrow{SA}}{a}=\left(0;\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, ta có $\overrightarrow{SB}\cdot \vec{u}=\frac{3a}{4}$, suy ra $H=S+\frac{3a}{4}\vec{u}=\left(0;\frac{3a}{8};\frac{a\sqrt{3}}{8}\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{HB}=\left(\frac{a}{2};-\frac{3a}{8};-\frac{a\sqrt{3}}{8}\right)$, $\overrightarrow{HC}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{3a}{8};-\frac{a\sqrt{3}}{8}\right)$.
$\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}=-\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{64}+\frac{3a^2}{64}=-\frac{a^2}{16}$;
$|\overrightarrow{HB}{|}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{64}+\frac{3a^2}{64}=\frac{7a^2}{16}\Rightarrow |\overrightarrow{HB}|=\frac{a\sqrt{7}}{4}$.

Vậy $\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}}{|\overrightarrow{HB}||\overrightarrow{HC}|}=\frac{-a^2/16}{7a^2/16}=-\frac{1}{7}$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn A.