Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm $H$ của $CI$. Biết góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^0$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(-\frac{\sqrt{3}}{2},0,0)$, $B(\frac{\sqrt{3}}{2},0,0)$, $C(0,\frac{3}{2},0)$ (tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$), $I(0,0,0)$, $H$ trung điểm $CI$ nên $H(0,\frac{3}{4},0)$.

a) $A{H}^2=\frac{3}{4}+\frac{9}{16}=\frac{21}{16}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{21}}{4}$. Góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là $\widehat{SAH}=45^{\circ }$ nên $SH=AH\tan 45^{\circ }=\frac{\sqrt{21}}{4}$. Đúng.

b) $S(0,\frac{3}{4},\frac{\sqrt{21}}{4})$. Diện tích đáy $=\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}{)}^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$, nên $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{21}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{16}$. Đúng.

c) Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $H$ (không nằm trên $AC$), nên góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là $\widehat{SAH}$, không phải $\widehat{SAC}$. Sai.

d) $G=\left(\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{3}{4},\frac{\sqrt{21}}{12}\right)$. Với $\vec{u}=\overrightarrow{AS}$, $\vec{v}=\overrightarrow{GC}$, $\vec{w}=\overrightarrow{SG}$: $\vec{u}\times \vec{v}=\left(\frac{\sqrt{21}}{4},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{\sqrt{33}}{4}$, $(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$. Suy ra $d(SA,CG)=\frac{3\sqrt{7}/8}{\sqrt{33}/4}=\frac{\sqrt{231}}{22}\ne \frac{\sqrt{231}}{11}$. Sai.

Đối chiếu bảng đáp án nguồn (Mã đề 101, 3a–3d: D, D, S, S) khớp hoàn toàn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AH=\frac{\sqrt{21}}{4}$ và $\widehat{SAH}=45^{\circ }$ nên $SH=AH=\frac{\sqrt{21}}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{21}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{16}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ là $H$ trung điểm $CI$, không nằm trên $AC$, nên góc là $\widehat{SAH}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng tọa độ được $d(SA,CG)=\frac{\sqrt{231}}{22}\ne \frac{\sqrt{231}}{11}$.