Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tính độ dài cạnh và đường chéo của đa diện (Toán học Lớp 11, 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, góc ASC = 60° nên góc giữa mỗi xích (SA) và đường thẳng đứng SO bằng 30°. Thành phần thẳng đứng của mỗi lực căng T là T·cos30°. Cân bằng: 4T·cos30° = P = mg = 40 N. Suy ra T = 40/(4·(√3/2)) = 20/√3 = 20√3/3 (N). Vậy a = 20.

(AI giải đề cho tôi)
Đường chéo đáy $AC=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2a$. Vì tam giác $SAC$ đều nên $SA=AC=2a$. Vậy cạnh bên của hình chóp bằng $2a$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0), D(4;0), vì hình thang cân với AB=BC=CD=2 nên B(1;√3), C(3;√3) (chiếu xuống đáy: (4−2)/2=1, chiều cao = √(2²−1²)=√3). Khi đó BD=√(3²+3²)=2√3. Vì SA⊥(ABCD), SA=2 nên SB=√(SA²+AB²)=√(4+4)=√7, SD=√(SA²+AD²)=√(4+16)=2√5. Tam giác SBD có ba cạnh √7, 2√3, 2√5. Diện tích theo công thức Heron dạng vector: S²=(1/4)[a²b²−((a²+b²−c²)/2)²]=(1/4)[7·12−((7+12−20)/2)²]=(1/4)[84−1/4]=83/16. Vậy S_{SBD}=√83/4.

(AI giải đề cho tôi)
Đường chéo hình lập phương cạnh $a$: $A{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Cụ thể, $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo đáy), tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ nên $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Vậy chọn D.

Giải: $A{A}^{\prime }=\sqrt{h^2+\frac{(AB-A^{\prime }{B}^{\prime }{)}^2}{3}}=\sqrt{3^2+\frac{(2-1{)}^2}{3}}\approx 3,06$ — ĐS : 3,06

Giải: $A{A}^{\prime }=\sqrt{h^2+\frac{(AB-A^{\prime }{B}^{\prime }{)}^2}{3}}=\sqrt{2^2+\frac{(3-1{)}^2}{3}}\approx 2,31$ — ĐS : 2,31

(AI giải đề cho tôi)
Đường chéo hình hộp: $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{12^2+4^2+6^2}=\sqrt{196}=14$ m. Vậy chiều dài sợi dây cáp là 14 m.

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $\sqrt{2}$ nên đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2+2}=2$.
Vì tam giác $SAC$ đều nên $SA=SC=AC=2$. Vậy độ dài cạnh bên của hình chóp bằng $2$.

Chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với cạnh đáy $a=200\text{ cm}$ và chiều cao $SO=206\text{ cm}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\text{ cm}$.
Chiều dài tối thiểu của mỗi cây cọc là $SC=\sqrt{S{O}^2+O{C}^2}=\sqrt{206^2+(100\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{62436}\approx 250\text{ cm}$.

Đáy nhỏ có cạnh $3\text{ dm}$, đáy lớn có cạnh $8-2\cdot 1=6\text{ dm}$, trung đoạn mặt bên $M{M}^{\prime }=\frac{8-3}{2}=2,5\text{ dm}$. Chiều cao khay là $h=\sqrt{2,5^2-(3-1,5{)}^2}=2\text{ dm}$.