Cho $\sin \alpha =\frac{3}{5},0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$. Tính $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$, $\sin 2\alpha$.

Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để găm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất $25(m)$ tại một góc ngắm $\alpha$ (góc hợp bởi phương ngắm với phương ngang). Nếu giảm góc ngắm đi một nửa thì vận động viên bắn trúng mục tiêu cách mặt đất $10(m)$ thì khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng $10\sqrt{5}(m)$. Tính giá trị của $P=3{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$.

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}.\tan B=2$

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Nhà bác An có một khoảng đất trống phía trước nhà là nửa đường tròn bán kính $R=1m$, bác muốn trồng hoa trên diện tích là hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn sao cho một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn. Giả sử khoảng đất được mô phỏng như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho góc $\alpha$ thoả $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Khi đó $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}$ với $a,b,c$ là các số nguyên nhỏ hơn 15. Tính giá trị của biểu thức $P=a-b-2c$.

Công thức nào sau đây là đúng?