Cho $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Biết $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{-a-b\sqrt{a}}{10}$, $(a,b\in \mathbb{Z})$. Tính giá trị $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Áp dụng công thức cộng: $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}-\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-3-4\sqrt{3}}{10}$. So sánh với $\frac{-a-b\sqrt{a}}{10}$ ta được $a=3$, $b=4$, do đó $a+b=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 7).