Cho 4 điểm $E,F,G,H$ bất kì. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FE}$ (vì $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$... chứng minh trực tiếp như sau):

Cách 1: Với mọi điểm, ta có $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$ và $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EH}$. Do đó:
$$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EH})+(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF})=(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EG})+\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF},$$
vì $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EG}=\vec{0}$.

Cách 2: Ta có $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FH}$ và $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HF}$. Suy ra:
$$\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FH})+(\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{HF})=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}+(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HF})=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF},$$
vì $\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HF}=\vec{0}$.

Vậy $\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{GF}$ với mọi vị trí của 4 điểm $E,F,G,H$ (đpcm).