Cho ${\log }_{9}5=a,{\log }_{4}7=b$ và ${\log }_{2}3=c$. Biết ${\log }_{24}175=\frac{mb+nac}{pc+3}$ với $m,n,p\in \mathbb{Z}$. Tính $A=3m+n+2p$.

Ta có: ${\log }_{3}5=2a$, ${\log }_{2}7=2b$, và ${\log }_{2}5={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5=2ac$. Khi đó ${\log }_{24}175=\frac{{\log }_2(5^2\cdot 7)}{{\log }_2(2^3\cdot 3)}=\frac{2{\log }_{2}5+{\log }_{2}7}{3+{\log }_{2}3}=\frac{4ac+2b}{c+3}=\frac{2b+4ac}{c+3}$. Đồng nhất hệ số với $\frac{mb+nac}{pc+3}$ ta được $m=2,n=4,p=1$. Giá trị $A=3m+n+2p=3(2)+4+2(1)=12$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.