Cho $\Delta ABC$ có $a=12$, $b=15$, $c=13$. a) Tính số đo các góc của $\Delta ABC$. b) Tính S, R, r. c) Gọi M thuộc cạnh BC sao cho BM = 8. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: Cho $\Delta ABC$ với $a=BC=12$, $b=CA=15$, $c=AB=13$, nửa chu vi $p=\frac{12+15+13}{2}=20$.

a) Theo định lí cosin:
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{225+169-144}{2\cdot 15\cdot 13}=\frac{250}{390}=\frac{25}{39}\Rightarrow A\approx 50^{\circ }13^{\prime }(\approx 50,21^{\circ }).$$
$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{144+169-225}{2\cdot 12\cdot 13}=\frac{88}{312}=\frac{11}{39}\Rightarrow B\approx 73^{\circ }37^{\prime }(\approx 73,62^{\circ }).$$
$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{144+225-169}{2\cdot 12\cdot 15}=\frac{200}{360}=\frac{5}{9}\Rightarrow C\approx 56^{\circ }15^{\prime }(\approx 56,25^{\circ }).$$
Kiểm tra: $A+B+C\approx 180^{\circ }$ (sai lệch nhỏ chỉ do làm tròn).

b) Công thức Heron:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{20\cdot 8\cdot 5\cdot 7}=\sqrt{5600}=20\sqrt{14}\approx 74,83.$$
$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{12\cdot 15\cdot 13}{80\sqrt{14}}=\frac{117}{4\sqrt{14}}=\frac{117\sqrt{14}}{56}\approx 7,82.$$
$$r=\frac{S}{p}=\frac{20\sqrt{14}}{20}=\sqrt{14}\approx 3,74.$$

c) Đặt hệ tọa độ: $B(0;0)$, $C(12;0)$, do $BM=8$ nên $M(8;0)$. Gọi $A(x;y)$ với $AB=13$, $AC=15$:
- $x^2+y^2=169$
- $(x-12{)}^2+y^2=225\Rightarrow -24x+144=56\Rightarrow x=\frac{11}{3}$.
- $y^2=169-\frac{121}{9}=\frac{1400}{9}\Rightarrow y=\frac{10\sqrt{14}}{3}$.

$$A{M}^2={\left(\frac{11}{3}-8\right)}^2+\frac{1400}{9}=\frac{169}{9}+\frac{1400}{9}=\frac{1569}{9}=\frac{523}{3}\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{1569}}{3}=\sqrt{\frac{523}{3}}\approx 13,20.$$

Kiểm tra bằng định lí Stewart với $m=BM=8$, $n=CM=4$: $b^{2}m+c^{2}n=a(A{M}^2+mn)\Rightarrow 225\cdot 8+169\cdot 4=2476=12(A{M}^2+32)\Rightarrow A{M}^2=\frac{523}{3}$. Kết quả khớp.