Cho $△ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, góc $A=120^{\circ }$.

a) Tính diện tích $△ABC$.

b) Tính cạnh $BC$ và bán kính $r$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 102: Cho tam giác ABC với AB = 6, AC = 8, góc A = 120°.

a) Diện tích tam giác:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

b) Theo định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }=100+48=148,$$
$$BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.$$

Nửa chu vi: $p=\frac{6+8+2\sqrt{37}}{2}=7+\sqrt{37}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})\cdot (-1)$$

Tính lại cẩn thận: $\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}\cdot \frac{\sqrt{37}-7}{\sqrt{37}-7}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=12\sqrt{3}(7-\sqrt{37})/12$... đúng ra:
$$r=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=-\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)=\sqrt{3}(7-\sqrt{37}).$$

Vì $\sqrt{37}\approx 6,083<7$ nên $r=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})=7\sqrt{3}-\sqrt{111}\approx 12,124-10,536\approx 1,59>0$, hợp lí.

Kết luận: $S=12\sqrt{3}$; $BC=2\sqrt{37}$; $r=7\sqrt{3}-\sqrt{111}\approx 1,59$.