Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Phân tích vecto $\overrightarrow{AI}$ theo hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$, ta được $\overrightarrow{AI}=m\vec{u}+n\vec{v}$. Tính $m-n$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CA,AB$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $EF\parallel BC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$, vì $EF\parallel BC$ và $E$ là trung điểm của $AC$ nên $I$ là trung điểm của $AD$ (đường thẳng qua trung điểm một cạnh song song với cạnh thứ hai đi qua trung điểm cạnh thứ ba). Suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Với $\vec{u}=\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ và $\vec{v}=\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, ta có $\overrightarrow{AB}=2\vec{v}$, $\overrightarrow{AC}=2\vec{u}$, do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(2\vec{v}+2\vec{u})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$. Vậy $m=n=\frac{1}{2}$ và $m-n=0$, khớp với đáp số 0 của nguồn.