Cho $\Delta ABC$ đều. Các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC,BC$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;\sqrt{3}),B(-1;0),C(1;0)$. Khi đó $D(-0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$ (trung điểm $AB$), $E(0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$ (trung điểm $AC$), $F(0;0)$ (trung điểm $BC$).

a) $\overrightarrow{DF}=(0,5;-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{AC}=(1;-\sqrt{3})=2\overrightarrow{DF}$, nên hai vecto cùng hướng (đây là trung bình tuyến), không ngược hướng → Sai.

b) $\overrightarrow{DA}=(0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{DF}=(0,5;-\frac{\sqrt{3}}{2})$, tổng bằng $(1;0)$; $\overrightarrow{DE}=(1;0)$. Vậy $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}$ → Đúng.

c) Vì $\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (cùng hướng) nên $\overrightarrow{DF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ → Sai.

d) $\overrightarrow{BE}=(1,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE}=0,5\cdot 1,5+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0,75-0,75=0$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên hai vecto cùng hướng, không ngược hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;\sqrt{3}),B(-1;0),C(1;0)$: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DF}=(1;0)=\overrightarrow{DE}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (cùng hướng), không phải $-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE}=0,75-0,75=0$, hai vecto vuông góc.