Cho ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $a^2,b^2,c^2$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ lập thành cấp số cộng nên theo tính chất số hạng giữa: $$\frac{2}{c+a}=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}.$$ (Điều kiện xác định: $a+b,b+c,c+a\ne 0$.) Nhân hai vế với $(a+b)(b+c)(c+a)$, ta được: $$2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+b)+(a+c)(b+c).$$ Khai triển từng vế: $$(b+c)(a+b)=ab+b^2+ac+bc\Rightarrow 2(b+c)(a+b)=2ab+2b^2+2ac+2bc.$$ $$(a+c)(a+b)=a^2+ab+ac+bc;(a+c)(b+c)=ab+ac+bc+c^2.$$ Cộng lại: $$(a+c)(a+b)+(a+c)(b+c)=a^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$ Suy ra $$2ab+2b^2+2ac+2bc=a^2+c^2+2ab+2ac+2bc\Rightarrow 2b^2=a^2+c^2.$$ Vậy $a^2+c^2=2b^2$, tức $b^2$ là trung bình cộng của $a^2$ và $c^2$, do đó ba số $a^2,b^2,c^2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (điều phải chứng minh).