Cho bất phương trình $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$ ($m$ là tham số). Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình có nghiệm. $S$ chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$. Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm nên $m=0\in S$. Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm $\iff \Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$. Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8}]$. Kiểm tra các khoảng: $(0;1)$ không chứa trong $S$ vì $m=\frac{1}{2}>\frac{1}{8}$; $(1;2)$ và $(-2;3)$ cũng chứa các giá trị $m>\frac{1}{8}$. Khoảng $(-1;0)\subset S$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 5: D).