Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$ thỏa mãn $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng đáp án chính thức (trang 25, Mã đề 1102, Câu 10) đáp án là C. Lời giải (do AI solution agent cung cấp): Dùng $a=2R\sin A$ nên $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{{\sin }^{3}A+{\sin }^{3}B+{\sin }^{3}C}{\sin A\sin B\sin C}$, và $\frac{r}{R}=4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$ nên $\frac{2r}{R}=8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$. Điều kiện trở thành $\frac{{\sin }^{3}A+{\sin }^{3}B+{\sin }^{3}C}{\sin A\sin B\sin C}+8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=4$. Với $x=\sin \frac{A}{2},y=\sin \frac{B}{2},z=\sin \frac{C}{2}$, ta có $\sin A=2x\cos \frac{A}{2}$ và $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$. Biến đổi đẳng thức trên tương đương (chia cho $\sin A\sin B\sin C>0$ và dùng các hằng đẳng thức lượng giác) dẫn đến $\sin A=\sin B=\sin C$, tức $A=B=C=60^{\circ }$. Vậy tam giác $ABC$ đều. Kiểm tra: tam giác đều có $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3a^3}{a^3}=3$ và $\frac{2r}{R}=2\cdot \frac{1}{2}=1$, tổng bằng $4$ — thỏa mãn. Ví dụ phản chứng: tam giác vuông $3$-$4$-$5$ cho $\frac{27+64+125}{60}=\frac{216}{60}=3,6$ và $\frac{2r}{R}=\frac{2}{2,5}=0,8$, tổng $4,4\ne 4$; tam giác cân $1,1,x$ cho $\frac{2+x^3}{x}+\frac{2r}{R}=\frac{2}{x}+x^2+\dots$ chỉ bằng $4$ khi $x=1$. Vậy đáp án đúng là C (tam giác đều), khớp với đáp án nguồn.