Cho biết ${\int }_{\frac{1}{e}}^e({\log }_{e^{2}x}x{)}^2\mathrm{d}x=ae+\frac{b}{e}+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $4a^2+b^3+c^2$ thuộc khoảng nào sau đây?

Trong âm nhạc, một *quãng tám* (octave) là khoảng cách âm thanh từ nốt Đô tới nốt Đô tiếp theo, theo thứ tự từ thấp đến cao là:
Đô – Đô# – Rê – Rê# – **Mi (E4)** – Pha – Pha# – Sol – Sol# – **La (A4)** – La# – Si – Đô
trong đó khoảng cách giữa hai nốt liên tiếp gọi là một *nửa cung* (semitone). Hai nốt cách nhau $n$ nửa cung thì tỷ lệ tần số nốt cao $f_{nc}$ và tần số nốt thấp $f_{nt}$ là $\frac{f_{nc}}{f_{nt}}=2^{\frac{n}{12}}$; cho biết tần số chuẩn của nốt La (A4) là $440\text{ Hz}$. Trên đàn guitar, dây số $1$ là nốt Mi (E4) đang bị chùng do thời tiết, tần số đo được hiện tại đang là $300\text{ Hz}$. Để căng lại dây đàn cho chuẩn, ta dùng núm xoay, và cứ vặn núm xoay $90^{\circ }$ thì nốt nhạc được tăng lên một nửa cung. Hỏi phải xoay núm của dây số $1$ một góc bao nhiêu độ để dây số $1$ trở về âm chuẩn *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)*?

Giá trị của biểu thức $T={\left(e^3\right)}^{{\log }_{e}2}$ bằng

Xét cặp số nguyên dương $(x_0;y_0)$ thỏa ${\log }_7(7x+7)-3y=343^y-x$ và $0<x\le 2020$. Giá trị $x_0-42y_0$ bằng

Xét các số thực dương $a,b$ tùy ý thoả ${\log }_{7}9\cdot {\log }_{9}a-9={\log }_{7}b$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xét các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=\sqrt[3]{e}$. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2\ln a\cdot \ln b+7\ln b\cdot \ln c+3\ln c\cdot \ln a$ là phân số tối giản $\frac{p}{q}$ và $p,q$ là các số tự nhiên. Giá trị $q-3p$ bằng

Cho $\log 3=a$, $\log 5=b$. Tính giá trị của ${\log }_{135}30$ theo $a,b$.