Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(2;1;3)$. Qua điểm $A(0;3;1)$ kẻ các đường thẳng $AM,AN,AP$ lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại các điểm $M,N,P$. Biết rằng $AMNP$ là tứ diện đều, tính diện tích của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $E(-1;-2;1)$ và $F(2;2;2)$. Vectơ $\overrightarrow{EF}$ có tọa độ là:

Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ $Axyz$ như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$. Phần mái là tứ giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và hình vuông $ABCD$ nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng $AB=25\text{ m}$, $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=4\text{ m}$ và $C{C}^{\prime }=D{D}^{\prime }=3\text{ m}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét) được thiết lập cho khu vực vận hành drone, một thiết bị bay di chuyển thẳng đều với vận tốc không đổi từ điểm $A(1;1;1)$ đến điểm $B(7;10;13)$ trong thời gian $60$ giây. Trên hành trình đó, sau khi xuất phát từ $A$ được $20$ giây, drone bay qua điểm kiểm soát $C(a;b;c)$. Tổng $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=3\vec{j}-4\vec{i}+2\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-2;3)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục $Oy$ là

Sau một trận lũ lớn, một trạm cứu hộ sử dụng drone để vận chuyển nhu yếu phẩm đến người dân bị cô lập. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại trạm cứu hộ, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo tính theo mét. Một chiếc drone chưa được sạc đầy pin xuất phát từ trạm, phát hiện được hai địa điểm cần cứu hộ ở trên nóc hai tòa nhà là $A(120;90;30)$ và $B(40;30;10)$. Sau khi bay đến điểm $A$, drone chỉ còn đủ pin để bay $40\%$ quãng đường từ $A$ đến $B$. Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.