Cho biết ${\int }_{\frac{1}{e}}^e({\log }_{e^{2}x}x{)}^2\mathrm{d}x=ae+\frac{b}{e}+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $4a^2+b^3+c^2$ thuộc khoảng nào sau đây?

Ta có ${\log }_{e^{2}x}x=\frac{\ln x}{\ln x+2}$. Đặt $t=\ln x\in [-1;1]$, tích phân trở thành $I={\int }_{-1}^1\frac{t^2}{(t+2{)}^2}{e}^t\mathrm{d}t$. Tích phân từng phần với $u=t^2{e}^t,\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}t}{(t+2{)}^2}$ (chọn $v=-\frac{1}{t+2}$): $I={\left[-\frac{t^2{e}^t}{t+2}\right]}_{-1}^1+{\int }_{-1}^1\frac{(t^2+2t)e^t}{t+2}\mathrm{d}t=-\frac{e}{3}+\frac{1}{e}+{\int }_{-1}^{1}t{e}^t\mathrm{d}t=-\frac{e}{3}+\frac{1}{e}+[(t-1)e^t{]}_{-1}^1=-\frac{1}{3}e+\frac{3}{e}$. Suy ra $a=-\frac{1}{3},b=3,c=0⟹4a^2+b^3+c^2=\frac{4}{9}+27=\frac{247}{9}\approx 27,44\in (25;30)$. Chọn đáp án B.