Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=x^2+3x-4,\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-20;20]$ sao cho ứng với mỗi $m$ đó, xét trên khoảng $(-4;-1)$ thì hàm số $g(x)=f(x^3+3x^2-m)$ có đúng một điểm cực trị?

Ta có $f^{\prime }(u)=(u-1)(u+4)$ và $g^{\prime }(x)=3x(x+2)\cdot f^{\prime }(x^3+3x^2-m)$. Trên khoảng $(-4;-1)$, $3x(x+2)=0$ có nghiệm đơn $x=-2$. Xét hàm $u(x)=x^3+3x^2-m$ trên $(-4;-1)$ có $u(-4)=-16-m$, $\max u(x)=u(-2)=4-m$ và $u(-1)=2-m$. Để $g(x)$ có đúng một điểm cực trị trên $(-4;-1)$ thì cả hai phương trình $u(x)=1$ và $u(x)=-4$ đều không có nghiệm bội lẻ trên $(-4;-1)$, tức là cả hai giá trị $1$ và $-4$ đều không thuộc khoảng $(-16-m;4-m)$. Điều này xảy ra khi $1\le -16-m⟺m\le -17$ hoặc $-4\ge 4-m⟺m\ge 8$. Với $m\in [-20;20]\cap \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-20;-19;-18;-17\}\cup \{8;9;\dots ;20\}$, gồm $4+13=17$ giá trị. Chọn đáp án C.