Cho các biểu thức sau: $P=\frac{{\log }_a\left(a^3{b}^2\right)-{\log }_b\left(\frac{b^3}{a^2}\right)}{{\log }_a^{2}b+1}$ và $Q={\log }_a{b}^3+{\log }_{a^2}{b}^6$ với $a,b$ là các số dương và $a$ khác 1.

a) Đúng: Ta có: $Q=3{\log }_{a}b+6\cdot \frac{1}{2}{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$.
b) Sai: $$P=\frac{{\log }_a{a}^3+{\log }_a{b}^2-\left({\log }_b{b}^3-{\log }_b{a}^2\right)}{{\log }_a^{2}b+1}$$ Ta có: $=\frac{3+2{\log }_{a}b-3+2{\log }_{b}a}{{\log }_a^{2}b+1}=\frac{2\left({\log }_{a}b+\frac{1}{{\log }_{a}b}\right)}{{\log }_a^{2}b+1}=\frac{2\left(\frac{{\log }_a^{2}b+1}{{\log }_{a}b}\right)}{{\log }_a^{2}b+1}=\frac{2}{{\log }_{a}b}=2{\log }_{b}a$.
c) Sai: $Q=6{\log }_{a}b$ còn $P=2{\log }_{b}a$ nên $Q\ne 3P$.
d) Đúng: $Q.P=6{\log }_{a}b\cdot 2{\log }_{b}a=12$.
a) Ta có: $Q=3{\log }_{a}b+6\cdot \frac{1}{2}{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$.
b) $$P=\frac{{\log }_a{a}^3+{\log }_a{b}^2-\left({\log }_b{b}^3-{\log }_b{a}^2\right)}{{\log }_a^{2}b+1}$$ Ta có: $=\frac{3+2{\log }_{a}b-3+2{\log }_{b}a}{{\log }_a^{2}b+1}=\frac{2\left({\log }_{a}b+\frac{1}{{\log }_{a}b}\right)}{{\log }_a^{2}b+1}=\frac{2\left(\frac{{\log }_a^{2}b+1}{{\log }_{a}b}\right)}{{\log }_a^{2}b+1}=\frac{2}{{\log }_{a}b}=2{\log }_{b}a$.
c) Từ a) và b): $Q=6{\log }_{a}b$, $P=2{\log }_{b}a$, nên $Q\ne 3P$.
d) Từ a) và b): $Q.P=6{\log }_{a}b\cdot 2{\log }_{b}a=12$.