Cho các góc lượng giác $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$, $\sin \alpha =\frac{-1}{3}$ và $\pi <\beta <\frac{3\pi }{2}$, $\cos \beta =\frac{-2}{3}$. Tính $\sin (\alpha +\beta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vì $\pi <\beta <\frac{3\pi }{2}$ nên $\beta$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \beta <0$: $\sin \beta =-\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Áp dụng công thức cộng:
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{-1}{3}\cdot \frac{-2}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}=\frac{2-2\sqrt{10}}{9}.$$