Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $SB$ và $AC$ sao cho $\frac{BM}{MS}=x$ và $\frac{NC}{NA}=y$, với $0<x,y\ne 1$. Biết rằng $MN\parallel (SAD)$, tính tỉ số $\frac{x}{y}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AS}=\vec{s}$ độc lập tuyến tính; $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Với $\frac{BM}{MS}=x$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+x\vec{s}}{1+x}$. Với $\frac{NC}{NA}=y$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{1+y}$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+x}\right)\vec{b}+\frac{1}{1+y}\vec{d}-\frac{x}{1+x}\vec{s}$. Vì $MN\parallel (SAD)$ mà $(SAD)$ chứa các vectơ $\vec{s},\vec{d}$, hệ số của $\vec{b}$ phải bằng 0: $\frac{1}{1+y}=\frac{1}{1+x}\Rightarrow x=y$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{d}-x\vec{s}}{1+x}$ thực sự song song $(SAD)$ (với $x\ne 1$ thỏa đề). Vậy $\frac{x}{y}=1$.