Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}& \text{khi }x>1\\ -x^2+m& \text{khi }x\le 1\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Với $x>1$, biểu thức $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ xác định vì $x+3>4>0$ và $x-1\ne 0$; với $x\le 1$, $-x^2+m$ là đa thức nên xác định với mọi $x$. Vậy hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ → ĐÚNG. b) Vì $1\le 1$ nên $f(1)=-1^2+m=-1+m$ → ĐÚNG. c) Với $x\to 1^{-}$, $f(x)=-x^2+m\to -1+m$, không phải $1+m$ → SAI. d) Với $x\to 1^{+}$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $\sqrt{x+3}-2$ xác định ($x+3>0$) và $x-1\ne 0$; với $x\le 1$, $-x^2+m$ là đa thức. Vậy hàm xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $1\le 1$ nên dùng nhánh $-x^2+m$: $f(1)=-1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(-x^2+m)=-1+m\ne 1+m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$.