Cho các số nguyên dương $a,b$ với $a>b$. Biết rằng $a^3-b^3$ là một ước của $ab(a^2-b^2)$. Chứng minh rằng $(a-b{)}^3>3ab$.

Đặt $a=dm,b=dn$, với $d=\gcd (a,b)$, như vậy $\gcd (m,n)=1$. Điều kiện của bài toán chứng tỏ $d^3(m^3-n^3)\mid d^{4}mn(m^2-n^2)$, kéo theo $(m^3-n^3)\mid dmn(m^2-n^2)$, hay $(m-n)(m^2+mn+n^2)\mid dmn(m-n)(m+n)$, nghĩa là $(m^2+mn+n^2)\mid dmn(m+n)$.

Để ý rằng hiển nhiên $\gcd (m^2+mn+n^2,m)=\gcd (m^2+mn+n^2,n)=1$. Ngoài ra, ta cũng có $\gcd (m^2+mn+n^2,m+n)=1$. Thật vậy, nếu $k\mid m^2+mn+n^2$ và $k\mid m+n$ thì $k\mid (m+n)n+n^2$ chứng tỏ $k\mid n^2$; tương tự $k\mid m^2$, do đó $k\mid \gcd (m,n)=1$, hay $k=1$.
Từ đó $m^2+mn+n^2\mid d$, kéo theo $d\ge m^2+mn+n^2=(m-n{)}^2+3mn>3mn$.

Suy ra
$$(a-b{)}^3=a^3(m-n{)}^3\ge d^3=d^2\cdot d>d^2\cdot 3mn=3ab$$