Cho các số thực $a_1,a_2,...,a_{30},b_1,b_2,...,b_{30}$ thỏa mãn $a_i\ne 0$ với mọi $i=1,...,30$. Hỏi phương trình:
$$\max \{a_{1}x+b_1,a_{2}x+b_2,...,a_{30}x+b_{30}\}=4$$
có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm $x_1<x_2<x_3$. Suy ra tồn tại chỉ số $1\le i\le 30$ để $$a_i{x}_2+b_i=\max \{a_{1}x+b_1,a_{2}x+b_2,...,a_{30}x+b_{30}\}=4;$$ ngoài ra ta có $a_i{x}_1+b_i\le 4,a_i{x}_3+b_i\le 4$.

Nói cách khác, hàm tuyến tính $a_{i}x+b_i-4$ nhận giá trị 0 tại $x_2$ và không dương tại $x_1,x_3$. Điều này chỉ xảy ra khi nó là hàm hằng bằng 0; nghĩa là $a_i=0,b_i=4$, mâu thuẫn. Như vậy, phương trình đã cho có không quá 2 nghiệm.

Đảo lại, với $a_1=\cdots =a_{29}=1,a_{30}=-1,b_1=\cdots =b_{30}=0$ ta dễ thấy phương trình $$\max \{x,-x\}=4$$ có 2 nghiệm là $x=\pm 4$.