Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn $\frac{2(z+2-i)}{(z+\bar{z})i+2}$ là số thực và $|w+2i|=|w+2|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|w+2+i|+|w-z|$ là

Gọi $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Biểu thức $\frac{2(z+2-i)}{(z+\bar{z})i+2}=\frac{2(x+2+(y-1)i)}{2xi+2}=\frac{(x+2)+(y-1)i}{1+xi}$.
Nhân liên hợp với $1-xi$:
$$\frac{[(x+2)+(y-1)i](1-xi)}{x^2+1}$$
Số này là số thực khi phần ảo bằng $0$:
$$(y-1)-x(x+2)=0\iff y-1-x^2-2x=0\iff y=(x+1{)}^2$$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z$ là parabol $(C):y=(x+1{)}^2$.
Gọi $w=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$):
$$|w+2i|=|w+2|\iff a^2+(b+2{)}^2=(a+2{)}^2+b^2\iff b=a$$
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường thẳng $d:y=x$.
Gọi $A(-2;-1)$ và $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z,w$, khi đó:
$$P=|w+2+i|+|w-z|=NA+NM$$
với $M\in (C),N\in d$.
Lấy đối xứng của parabol $(C)$ qua đường thẳng $d:y=x$, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách:
$$P_{\min }=2$$
Đạt được khi $w=-1-i$ và $z=-1$.
Chọn đáp án A.