Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{3}<b<a<1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_a\frac{4(3b-1)}{9}+8{\log }_{b/a}^{2}a$ là

Chọn B.
Vì $\frac{1}{3}<b<a<1$, ta có $3b-1>0$ và $0<a<1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $4(3b-1)=4\cdot \frac{3b-1+1}{2}$? Ta có $4(3b-1)\le (3b-1+1{)}^2=(3b{)}^2=9b^2$.
Do $0<a<1$ nên cơ số nhỏ hơn 1 đảo chiều bất đẳng thức:
${\log }_a\frac{4(3b-1)}{9}\ge {\log }_a\frac{9b^2}{9}={\log }_a(b^2)=2{\log }_{a}b$.
Khi đó:
$P\ge 2{\log }_{a}b+8{\log }_{b/a}^{2}a=2{\log }_{a}b+\frac{8}{({\log }_a(b/a){)}^2}=2{\log }_{a}b+\frac{8}{({\log }_{a}b-1{)}^2}$.
Đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $\frac{1}{3}<b<a<1$ nên $0<a<1$ và $b<a⟹t={\log }_{a}b>1$.
Xét hàm số $f(t)=2t+\frac{8}{(t-1{)}^2}$ với $t>1$.
Ta viết: $f(t)=2(t-1)+\frac{8}{(t-1{)}^2}+2=(t-1)+(t-1)+\frac{8}{(t-1{)}^2}+2$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
$(t-1)+(t-1)+\frac{8}{(t-1{)}^2}\ge 3\sqrt[3]{(t-1)\cdot (t-1)\cdot \frac{8}{(t-1{)}^2}}=3\sqrt[3]{8}=3\cdot 2=6$.
Do đó: $f(t)\ge 6+2=8$.
Đẳng thức xảy ra khi $t-1=\frac{2}{\sqrt{t-1}}⟺(t-1{)}^3=8⟺t-1=2⟺t=3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $8$.