Số nghiệm của phương trình ${\log }_3(x^2-2x)={\log }_5(x^2-2x+2)$ là

Chọn D.
Điều kiện xác định: $x^2-2x>0$.
Đặt $t=x^2-2x>0$. Phương trình trở thành:
${\log }_{3}t={\log }_5(t+2)$.
Đặt $u={\log }_{3}t={\log }_5(t+2)⟹t=3^u$ và $t+2=5^u$.
Suy ra $5^u-3^u=2$.
Nhận thấy $u=1$ là một nghiệm vì $5^1-3^1=2$.
Với $u>1$: chia hai vế cho $5^u$, ta có $1-(\frac{3}{5}{)}^u=2\cdot (\frac{1}{5}{)}^u$. Hàm số $g(u)=1-(\frac{3}{5}{)}^u-2(\frac{1}{5}{)}^u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên nghiệm $u=1$ là duy nhất.
Với $u=1⟹t=3^1=3$.
Khi đó: $x^2-2x=3⟺x^2-2x-3=0⟺[\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$ (cả hai nghiệm đều thỏa mãn $x^2-2x=3>0$).
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt.