Cho các số thực $x,y$ thay đổi, thỏa mãn $x>y>0$ và $\ln \left(x-y\right)+\frac{1}{2}\ln \left(xy\right)=\ln \left(x+y\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=x+y$

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện: ln(x−y)+½ln(xy)=ln(x+y) ⟺ (x−y)xy=(x+y)². Đặt t=x/y>1, x=ty. Khi đó y³t(t−1)=y²(t+1)² ⟹ y=(t+1)²/[t(t−1)]. Suy ra M=x+y=y(t+1)=(t+1)³/[t(t−1)], với t>1. Xét f(t)=(t+1)³/(t²−t); đạo hàm logarit: 3/(t+1)−1/t−1/(t−1)=0 ⟺ 3t(t−1)=(t+1)(2t−1) ⟺ t²−4t+1=0 ⟹ t=2+√3 (nhận, t>1). f giảm trên (1;2+√3) và tăng trên (2+√3;+∞) nên giá trị nhỏ nhất tại t=2+√3: f=(3+√3)³/[(2+√3)(1+√3)]=(54+30√3)/(5+3√3)=6√3. Vậy min M=6√3≈10,39.