Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $\{\begin{array}{l}9u_2-u_7=1\\ 2u_4-u_{10}=-10\end{array}$.
1. Tìm $u_1$ và công sai $d$.
2. Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng trên.
3. Tính tổng $u_1+u_2+\dots +u_{33}$.
4. Tính tổng $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $d$ là công sai, $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thay vào hệ:
$9(u_1+d)-(u_1+6d)=1\Rightarrow 8u_1+3d=1$;
$2(u_1+3d)-(u_1+9d)=-10\Rightarrow u_1-3d=-10$.
Cộng hai phương trình: $9u_1=-9\Rightarrow u_1=-1$; suy ra $-1-3d=-10\Rightarrow d=3$.

2) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) $S_{33}=\frac{33\left(u_1+u_{33}\right)}{2}$ với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$:
$S_{33}=\frac{33(-1+95)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

4) $T=u_{33}+u_{34}+\dots +u_{55}$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$:
$T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.

Kiểm tra: $9u_2-u_7=9\cdot 2-17=1$ ✓; $2u_4-u_{10}=2\cdot 8-26=-10$ ✓.