Cho góc $a$ thỏa mãn $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ và $\tan a=5$.
1. Tính $\sin a;\cos a;\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$.
2. Tính $\sin 2a;\cos 2a$.
3. Tính $\sin \frac{a}{2};\cos \frac{a}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên $a$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin a<0$, $\cos a<0$. Từ $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$ ta có ${\cos }^{2}a=\frac{1}{1+25}=\frac{1}{26}\Rightarrow \cos a=-\frac{\sqrt{26}}{26}$; $\sin a=\tan a\cdot \cos a=5\cdot \left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right)=-\frac{5\sqrt{26}}{26}$.

1) $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{5\pi }{6}+\cos a\sin \frac{5\pi }{6}=\left(-\frac{5\sqrt{26}}{26}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{78}-\sqrt{26}}{52}$.

2) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{5\cdot 26}{676}=\frac{5}{13}$; $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{1}{26}-\frac{25}{26}=-\frac{12}{13}$.

3) Vì $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\frac{3\pi }{4}$ nên $\sin \frac{a}{2}>0$, $\cos \frac{a}{2}<0$. Do đó $\sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\sqrt{\frac{26+\sqrt{26}}{52}}=\frac{\sqrt{26+\sqrt{26}}}{2\sqrt{13}}$; $\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=-\sqrt{\frac{26-\sqrt{26}}{52}}=-\frac{\sqrt{26-\sqrt{26}}}{2\sqrt{13}}$. Kiểm tra: ${\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}=1$ và $2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=-\frac{5\sqrt{26}}{26}=\sin a$, đều đúng. Đề in $\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$ được hiểu là $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)$ theo biến $a$ của đề.