Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=7\\ u_5-u_2=14\end{array}$.
1. Tìm số hàng đầu $u_1$ và công bội $q$ 2. Tìm $u_4$. 3. Tính $S_{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số nhân $(u_n)$ có số hàng đầu $u_1$ và công bội $q\ne 0$.

Ta có $u_2=u_{1}q$, $u_3=u_1{q}^2$, $u_5=u_1{q}^4$.

Điều kiện thứ nhất: $u_1+u_2+u_3=u_1(1+q+q^2)=7$.

Điều kiện thứ hai: $u_5-u_2=u_1(q^4-q)=14$.

Chia hai phương trình (với $1+q+q^2\ne 0$ luôn đúng vì $1+q+q^2={\left(q+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$):
$$\frac{q^4-q}{1+q+q^2}=\frac{q(q^3-1)}{q^2+q+1}=q(q-1)=2.$$

Suy ra $q^2-q-2=0\iff (q-2)(q+1)=0\iff q=2$ hoặc $q=-1$.

**TH1: $q=2$.** Khi đó $u_1(1+2+4)=7\Rightarrow u_1=1$.
- $u_4=u_1{q}^3=1\cdot 8=8$.
- $S_{20}=u_1\cdot \frac{q^{20}-1}{q-1}=\frac{2^{20}-1}{2-1}=2^{20}-1=1048575$.

**TH2: $q=-1$.** Khi đó $u_1(1-1+1)=7\Rightarrow u_1=7$.
- $u_4=u_1{q}^3=7\cdot (-1)=-7$.
- $S_{20}=\frac{u_1(1-q^{20})}{1-q}=\frac{7(1-1)}{2}=0$ (các cặp số hạng $u_{2k-1}+u_{2k}=7-7=0$ triệt tiêu nhau).

Kiểm tra lại cả hai trường hợp đều thỏa mãn đề bài:
- $q=2,u_1=1$: $1+2+4=7$; $16-2=14$. ✓
- $q=-1,u_1=7$: $7-7+7=7$; $7-(-7)=14$. ✓

Vậy bài toán có hai nghiệm: $(u_1,q)=(1;2)$ với $u_4=8$, $S_{20}=1048575$; hoặc $(u_1,q)=(7;-1)$ với $u_4=-7$, $S_{20}=0$.