Xét tính liên tục của các hàm số sau
a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}$
c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$
d) $f(x)=\sqrt{x-2}$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định trên toàn trục thực $\mathbb{R}$. Mọi hàm đa thức liên tục trên tập xác định của nó, nên $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ (tại mọi $x_0\in \mathbb{R}$, ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=x_0^3-x_0^2+8x_0=f(x_0)$).

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$ xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$, tức tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$. Trên $D$, hàm là thương của các hàm liên tục với mẫu khác 0 nên liên tục tại mọi điểm của $D$. Tại $x=0$ và $x=3$ hàm không xác định nên không liên tục. Cụ thể: ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x-3}=0$ (không tồn tại $f(0)$); ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\infty$ (vì $x^2-3x\to 0$). Vậy hàm liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;3\}$ và gián đoạn tại $x=0$, $x=3$.

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Trên $D$, tử số $\sin x+1$ và mẫu $x+1$ đều liên tục và mẫu khác 0, nên $f$ liên tục tại mọi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: xét ${\lim }_{x\to -1}f(x)={\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}$. Đặt $t=x+1\to 0$, khi đó $\sin x+1=1+\sin (t-1)$. Ta có $1+\sin (t-1)=1+\sin (-1)\cos t+\cos (-1)\sin t$, nên ${\lim }_{t\to 0}\frac{1+\sin (t-1)}{t}={\lim }_{t\to 0}\left(\frac{1+\sin (-1)\cos t}{t}+\cos 1\cdot \frac{\sin t}{t}\right)$. Vì $1+\sin (-1)\approx 1-0,84=0,16\ne 0$, số hạng $\frac{1+\sin (-1)\cos t}{t}\to \infty$ (không có giới hạn hữu hạn). Vậy ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại (bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ tùy phía), hàm gián đoạn tại $x=-1$. Kết luận: $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, gián đoạn tại $x=-1$.

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$ xác định khi $x-2\ge 0$, tức $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục trên $[0;+\infty )$ và $u=x-2$ liên tục, nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$. Kiểm tra tại biên $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$, nên $f$ liên tục (bên phải) tại $x=2$. Vậy $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$.